対象サービスとして指定されている「XServerSSL」ではなく「エックスサーバー（XServerレンタルサーバー）」のマニュアルページですが、
https://www.xserver.ne.jp/manual/man_server_ssl.php
にある「無料独自SSLの設定」をしたのみの状態でしょうか。
その場合、このマニュアルページの手順の「4.設定完了」のあたりに書かれているとおり、無料独自SSLの設定をしても、httpのページが自動的にhttpsに置き換わることはありません。
無料独自SSLの設定をした場合、自分のサイトに「http」でも「https」でもアクセスできるようになる、といった仕組みであり、「これからはずっとhttpsでアクセスさせたい」ということであれば、その注意書きにあるとおり、「常時SSL化の設定（httpにアクセスしたものをhttpsに転送する設定）」が必要になります。
すでに公開中のウェブサイトの常時SSL化に関するマニュアルは以下のとおりです。
https://www.xserver.ne.jp/manual/man_server_fullssl.php
具体的には、
・「.htaccess編集」メニューから、httpsに転送するための記述を追記する
もしくは
・新サーバーパネルの場合、「ドメイン設定」メニューから「HTTPS転送」の項目にチェックを入れる
といった作業をする必要があります。後者の「新サーバーパネル」からするほうが、作業としては圧倒的に楽です。
また、WordPressなどのプログラムを利用している場合、「プログラムの管理画面」に、「運用するサイトのURLを入力する項目」が設けられている場合があります。
このような場合は、その管理画面からもURLを変更する必要があります。多くのプログラムでは、このような作業をすることで、そのプログラム内のリンクがhttpsに変更されます。