対象サービス：XServerドメイン
しか確かな情報がなく、具体的のどこのサーバーでどのようにメールを使っているかなどの情報がないため、いったんは以下と仮定します。
・XServerドメインで取得したドメイン名を、エックスサーバーもしくはXServerビジネスで使用している
・エックスサーバーもしくはXServerビジネスで、そのドメイン名のメールアドレスを作った
・作成したメールアドレスについては、「Webメール」にログインすることでメールの送受信をしている
・Webメールに下書きを保存していたが、翌日にWebメールにログインしたところ、下書きのメールがなくなっていた
エックスサーバー、XServerビジネスで提供されているWebメールは現在、「Webメール」と「旧Webメール」がありますが、どちらも「ログアウト時に下書きからメールを削除する仕様」などはありません。
そのため、
なぜ？
については、意図的に下書きメールを削除する操作（Webメールの下書きフォルダからメールを削除する操作や、FTPなどからWebメールの領域にあるファイルを削除する操作など）をしていない場合、「Webメール自体の何らかの不具合」の影響により下書きが削除されてしまっている可能性が考えられます。
こうなってくると、ユーザーの立場ではどうしようもない可能性が高く、公式のサポートの問い合わせるしかなさそうな気がします。
どうしたら回復しますか？
下書きを作成したタイミングと、実際に削除されたタイミングによっては、「自動バックアップ」に、今回削除されてしまった下書きメールのデータが残っているかもしれません。
この場合、それなりのスキル（フォルダ構造に関する知識やFTP操作のスキル）が必要になりますが、「自動バックアップからのデータ取得」でメールデータを取得し、Webメールの実際のフォルダに「下書きメールの実体ファイル」を移動させることで、下書きを復元できるかもしれません。
▼自動バックアップからのデータ取得
https://www.xserver.ne.jp/manual/man_server_download.php
自動バックアップからのデータ「復元」とすると、「自動バックアップをした日以降に届いているメール」がWebメールから消えてしまうので、「取得」したうえで、FTPソフトなどを使用し、手作業でバックアップデータを移動させる必要があります。