新規ドメイン作成で１年間１円だったので契約し、その間サーバーレンタル更新（自動更新）していなかったためか、ドメインとサーバーの更新料支払い請求となりました。まだ１年間ドメイン使用していないのですが、どちらの料金も支払いしないといけないのですか？教えてください
サーバーであれば契約した時点、ドメインは取得した時点で料金が発生し利用有無にかかわらず継続利用する場合それぞれで更新（料金前払い）が必要です。
（推測ですが質問者さんが契約時に支払った料金は1年目のみの料金かと思われるので2年目も利用するのであれば更新費用の支払いが必要です。）
それぞれの更新タイミングは下記マニュアルに記載のとおりとなりますが、ドメインは利用期限日の2ヶ月前より翌年分の更新料金を引き落とし、サーバーは設定されている更新期間分の利用料金をその時点の利用期限日のは毎月20日から末日に引き落としされます。
いずれも期日間際であると失効して利用できなくなってしまうのでそれを防ぐために余裕を持ったタイミングで設定している期間分の更新が自動的に実施されます。支払い完了後のメールなどにいつからいつまでの更新料金であるとの記載があると思うのでそちらを確認するとわかりやすいかと思います。
■参考：自動更新の金額とタイミング
https://www.xserver.ne.jp/manual/man_order_pay_method_autopay.php
更新をしたくない場合は、自動更新設定を解除するか解約するなどの対応を行えばよいです。（すでに更新が完了している場合どうしようもないですが。。）
■参考：更新期間の変更/自動更新設定の解除
https://www.xserver.ne.jp/manual/man_order_pay_method_autopay_credit.php#link-b02
■参考：解約
https://www.xserver.ne.jp/manual/man_order_quit.php
なお、1年間1円でドメインを契約したとのことですがあくまで取得費用（1年目）が1円であり2年目からの更新費用は1円ではないのでご留意ください。
■参考：ドメインご利用料金
https://www.xdomain.ne.jp/domain/price.php