現在も継続している状態でしょうか。
一時的なエラーの場合、昨日（5日）に負荷上昇の障害があったようなので対象ではないか確認してみてください。

・障害・メンテナンス情報
https://www.xserver.ne.jp/support/information.php

※障害影響の場合、すでに解消しているのでキャッシュをクリアしてから改善可否の確認をしてみてください。

現在も継続しており、特に設定の変更など実施しておらず突然発生した場合、まずはサーバーパネル内「エラーログ」を確認してみてください。
当該エラー発生時刻のログにエラー発生箇所が表示されているかもしれません。

参考：エラーログ（午前3時にログはリセットされます）
https://www.xserver.ne.jp/manual/man_server_logerror.php

特にエラーログが出力されていない場合、利用プログラムなどの負荷状況が高くサーバーのリソース不足となっている可能性もあるので、
下記それぞれ試し負荷軽減を行い改善可否を確認してみるなどもよいかもしれません。

・プラグイン、プログラムを1つずつ停止する。
・すべてのメールソフト（IMAP）での接続を解除する
　対象メールアカウントのパスワードを一時的に変更することでメールソフトでの接続解除可能です。
　ただ、パスワードを変更した時点でメールソフトでの送受信ができない状態となるのでご注意ください。
　（変更後のパスワードをメールソフトへ再設定することで再利用可能です）

取り急ぎ思い浮かぶのは上記でした。
サーバー自体、利用プログラムどこに問題があるのか1つずつ問題の切り分けを行ってみるとよいかと思います。

StackOverFlowでエラーメッセージを調べてみたところ、同じような現象に関する質問がありました。
https://stackoverflow.com/questions/12153518/connection-reset-by-peer-mod-fcgid-error-reading-data-from-fastcgi-server

解決策を要約すると、
・パーミッション設定が間違っているなら直す
・重い処理を行っているのであれば、タイムアウトまでの時間を長くする
という感じです。

公式のサポート記事も見つかりましたので、こちらもご覧ください。
https://www.xserver.ne.jp/support/faq/service_php_500.php

現在も解消しないとの場合、運用しているプログラム側に起因したものである可能性が高いので、、
newmomiziさんの仰せのプログラム内容と各種ファイルのパーミッション値の見直しなど行ってみるのがよいかと思います。

※プログラムのタイムアウト時間を伸ばす場合、サーバーパネル内「php.ini設定」から
「max_execution_time」「max_input_time」などの時間を延長することで可能です。

参考：php.ini設定について
https://www.xserver.ne.jp/manual/man_server_phpini_edit.php

特にプログラムなどの変更は行っておらず、サーバー設定も一切弄っていないとの場合、
プログラムの自動アップデートで生じた可能性もあるので、もしまだ試していない場合プラグインを1つずつ停止する、
WordPressテーマを他のものに変更してみるなどでも改善可否を確認してみてください。
（プラグインなどの自動アップデートで突然エラーが発生するといった状況もあるあるなので）

また、Xserverレンタルサーバーの契約であれば、
リソースモニターが見れるのでそちらから問題発生前後での負荷状況をみてサーバーに異常がないかも併せて確認してみてください。

参考：リソースモニター
https://www.xserver.ne.jp/manual/man_server_resource_information.php

最後に、同様のケースで不正アクセスの影響でファイルが改ざんされ何もしていないのに突然エラーが発生したという状況もなくはないようなので、
プログラム内容とパーミッション値の見直しの際に心当たりのないデータ設置や意図しないパーミッション値が設定されていないかなども注視してください。