いいえ、co.jpドメインは無料では取得できません。
エックスサーバーなどのレンタルサーバーサービスにおいて、co.jpドメインが無料になるのは、以下のサーバーサービス、プランを契約した場合のみです。
・レンタルサーバー「XServerレンタルサーバー」・・・ビジネスプラン
参考： https://www.xserver.ne.jp/manual/man_order_present_domain.php
・法人レンタルサーバー「XServerビジネス」・・・すべてのプラン
参考： https://support.xserver.ne.jp/manual/man_order_present_domain.php
無料サーバーの「エックスサーバースタティック（XServer Static）」にはco.jpドメインが無料になるサービスはついていないため、エックスサーバースタティックのみを契約するのであれば、co.jpドメインは無料にはなりません。
ご回答いただきありがとうございます。
.comや.jpについては、エックスサーバースタティックでは無料で取得できますか？
サーバーや独自ドメインが無料と書いてあったのですが、どの種類まで無料になるのか詳しく記載されている場所が見つかりません。
> .comや.jpについては、エックスサーバースタティックでは無料で取得できますか？
私の知る限りでは、できません。
たいしょうさんが言う「サーバーや独自ドメインが無料と書いてあった」というのが、どこのウェブページにどのように書かれていたのかは私は知りませんが、エックスサーバースタティックの公式サイト（ https://static.xserver.ne.jp/ ）やそのヘルプページ、マニュアルページには、独自ドメインが無料になるような記述はありません。
本来は有料の独自ドメインが無料になるというのは、かなり大盤振る舞いな特典で、「やっていることは大きなPRポイントになる」かもしれませんが、一般的にはかなり珍しい特典であり、「やっていない場合」に「やっていません」と明示するものでもないと思います。なんせ、一般的にはやっていないのが当たり前なんですから。